控制算法-滑模控制介绍

发表于 2019-12-21 更新于 2024-08-14 分类于控制算法，滑模控制阅读次数： Changyan： Disqus：

一维运动模型

考虑简单的单位质量块的一维运动模型，使用位移和速度状态变量进行描述。

定义位移变量\(x_1 = x\)和速度变量\(x_2 = \dot{x_1} = v\)，运动模型的微分形式使用\(x_1\)、\(x_2\)表示如下：

\[ \left\{ \begin{array}{rl} &\dot{x_1} = x_2& x_1(0)=x_{10}\\ &\dot{x_2} = u + f(x_1,x_2,t) &x_2(0)=x_{20} \end{array} \right.\tag{1} \]

其中,\(u\)代表控制力，干扰项\(f(x_1,x_2,t)\)包括干粘摩檫力的影响和一些未知的阻力，并假定有界。

\[ \rvert f(x_1,x_2,t)\rvert \leqslant L \gt 0 \tag{2} \]

问题关键在于设计一个反馈控制率\(u = u(x_1,x_2)\)，驱动质量块渐进到达原点。换句话说，控制变量\(u=f(x_1,x_2)\)应该驱使状态变量趋近于0：\(\lim_{t \to \infty}{x_1,x_2} = 0\)。

这个问题看似简单，但对于存在未知的边界干扰项\(f(x_1,x_2,t)\)的情况下，使系统渐进收敛仍然存在着挑战。

状态反馈控制

例如，通过一个线性状态反馈控制率

\[ \begin{matrix} u = -k_1x_1 - k_2x_2, &\text{其中}(k_1>0,&k_2>0) \end{matrix}\tag{3} \]

在外界干扰项\(f(x_1,x_2,t)\equiv 0\)，即不存在外界干扰时，系统可以实现渐进收敛。

仿真结果

初始条件\(x_{10}=1\)、\(x_{20} = -2\)、控制率参数\(k_1=3\)、\(k_2=4\)。

如下图所示，是无外界干扰项时的渐近收敛效果图，图中蓝色线代表距离\(x\)，橘黄色线代表速度\(v\)，可以看出在反馈控制率\(u = u(x_1,x_2)\)的作用下，距离和速度值都趋近于0。

加入外部干扰\(f(x_1,x_2,t) = \sin(2t)\)，响应波形如下：

对于干扰项\(\rvert f(x_1,x_2,t)\rvert \leq L > 0\),产生的状态边界范围为\(\Omega=(k_1,k_2,L)\) 。

现在问题在于，仅使用未知扰动范围的知识是否可以解决规定的控制问题。

滑模控制的主要特性

介绍对于等式(1)系统，所需的补偿动力。一个较好的替代这些动力学特性的是齐次线性时不变微分方程：

\[ \begin{array}{rl} \dot{x}_1 + c \cdot x_1 = 0 ,& c > 0 \tag{4} \end{array} \]

因为 \(x_2(t) = \dot{x}_1(t)\),等式(4)的通用解和它的微分形式如下：

\[ \begin{array}{} &x_1(t) = x_1(0)\exp(-ct)\\ &x_2(t) = \dot{x_1}(t)=-c \cdot x_1(0)\exp(-ct) \end{array}\tag{5} \]

从等式(5)可以看出，\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)都是逐渐趋近于0。注意，无干扰项\(f(x_1,x_2,t)\)的状态补偿动力学是很明显的。如何获得这些补偿动力。

滑模变量

首先介绍一个等式(1)系统的状态空间的新变量(滑模变量)：

\[ \sigma = \sigma(x_1,x_2) = x_2 + c \cdot x_1 \tag{6} \]

在给定等式(5)收敛率且存在有界干扰\(f(x_1,x_2,t)\)的情况下，为了使状态变量\(x_1\)，\(x_2\)逐渐收敛于0，即\(\lim_{t \to \infty} x_1,x_2 = 0\)，不得不通过控制率\(u\)使得等式(6)的变量\(\sigma\)在有限的时间内趋于0。

为了完成这个任务利用李亚普洛夫函数技术，结合等式(1)和(6)推动出关于滑模变量\(\sigma\)的动力学方程如下：

\[ \begin{array}{rl} \dot{\sigma} = c \cdot x_2 + f(x_1,x_2,t) + u ,&\sigma(0) = \sigma_0 \end{array} \tag{7} \]

稳定判据

李亚普洛夫函数(Lyapunov)形式如下：

\[ V = \frac{1}{2}\sigma^2 \tag{8} \]

为了使等式(6)在平衡点\(\sigma = 0\)处渐进稳定，根据李亚普洛夫稳定判据，必须满足下面两个条件：

\(\begin{array}{rl}\dot{V} < 0 &(\sigma \neq 0)\end{array}\)
\(\lim_{\rvert \sigma \rvert \to \infty}V = \infty\)

由等式(8)知，条件2明显满足。为了满足有限时间内渐进稳定，条件(1)可以修改为：

\[ \dot{V} \leq -\alpha {V}^{\frac{1}{2}} ,\qquad \alpha > 0 \tag{9} \]

在时间间隔\(0 \leq \tau \leq t\)内，对等式(9)所示的微分方程进行变量分离求积分得

\[ \begin{array}{rl} \int_{0}^{t} V(\tau)^{-\frac{1}{2}}dV(\tau) &\leq -\alpha*\int_{0}^{t}1 d\tau\\ 2*V(\tau)^{\frac{1}{2}}|_0^t &\leq -\alpha*\tau|_0^t\\ 2*[V(t)^{\frac{1}{2}} - V(0)^{\frac{1}{2}}] &\leq -\alpha*t\\ V(t)^{\frac{1}{2}} &\leq -\dfrac{1}{2}\alpha*t + V(0)^{\frac{1}{2}} \end{array}\tag{10} \]

故\(V(t)\)在有限时间\(t_r\)达到0时的边界，根据等式(26)得

\[ t_r \leq \frac{2V(0)^{\frac{1}{2}}}{\alpha} \tag{11} \]

因此，设计一个控制器\(u\)满足等式(9)，使得变量\(s\)在有限的时间内趋近于0并在之后一直保持。

\(V\)的微分计算如下：

\[ \dot{V} = \sigma\dot{\sigma}=\sigma(c \cdot x_2 + f(x_1,x_2,t) + u) \tag{12} \] 假设 \(u = -c \cdot x_2 + v\)，并将其带入等式(12)得 \[ \dot{V} = \sigma\bigl( f(x_1,x_2,t) + v \bigr) = \sigma \cdot f(x_1,x_2,t) + \sigma v \leq \rvert \sigma \rvert L + \sigma v \tag{13} \]

此处选择\(v = -\rho sign(\sigma)\)，该函数表示为

\[ sign(x) = \left \{ \begin{array}{rl} & 1 & x > 0\\ & & &\\ &-1 & x < 0 \end{array} \right. \tag{14} \] 并且

\[ sign(0) \in [-1,1] \tag{15} \]

由于\(\rho > 0\)，将其带入等式(13)得

\[ \dot{V} \leq \rvert \sigma \rvert L - \rvert \sigma \rvert \rho = \rvert \sigma \rvert(L - \rho) \tag{16} \]

考虑到等式(8)的形式，等式(9)可以表示为

\[ \dot{V} \leq -\alpha {V}^{\frac{1}{2}} = -\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\rvert \sigma \rvert,\qquad \alpha > 0 \tag{17} \]

结合等式(16)和等式(17)得

\[ \dot{V} \leq \rvert \sigma \rvert(L - \rho) =-\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\rvert \sigma \rvert \tag{18} \]

最终控制增益可以表示为

\[ \rho = L + \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \tag{19} \]

所以最终使滑模变量\(\sigma\)在有限时间内趋近于0的控制率\(u\)为

\[ u = -c \cdot x_2 - \rho \cdot sign(\sigma) \tag{20} \]

显然，为了成功地设计出等式(20)中的控制器，\(\dot{\sigma}\)必须是控制率\(u\)的函数。当设计像等式(6)中的滑模变量时，这个特性必须考虑其中。

等式(19)中控制增益\(\rho\)的第一项被设计用来补偿有界干扰项\(f(x_1,x_2,t)\)，同时第二项\(\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\)负责确定滑模面的到达时间。\(\alpha\)的数值越大，到达时间就越短。

基本定义

滑模变量

等式(6)中定义的变量\(\sigma\)叫做 滑模变量(sliding variable)

滑模面

结合等式(4)和(5)，可以重新写成如下形式： \[ \sigma = x_2 + c \cdot x_1 = 0, c > 0 \tag{21} \] 相当于在系统(1)状态空间内的一条直线，这条直线被称为 滑模面(sliding surface)。

考虑到等式(9)可以等效于

\[ \sigma\dot{\sigma} \leq - \frac{\sigma}{\sqrt{2}} \rvert \sigma\rvert \tag{22} \]

等式(22)经常被称为 到达条件(reachability condition)。满足到达条件意味着等式(1)系统的轨迹趋向于滑模面，并在此后一直保持。

滑模控制

等式(20)所对应的控制率\(u = u(x_1,x_2)\)驱使状态变量\(x_1\)、\(x_2\)在有限时间\(t_r\)内趋近于滑模面，并在存在有界干扰项\(f(x_1,x_2,t)\)的情况下保持在该平面上，这个控制率\(u\)就叫做 滑模控制。并且对于所有的\(t > t_r\)，系统都将产生一个理想滑动模态。