车辆停车优化
概述
车辆控制中，如何舒适平衡的停车也是一个比较讲究的事。日常生活中，对于一个刚接触车的新手，控车时可能会猛踩刹车，给人一种很冲的感觉。但是对于老司机，每次踩刹车都是先轻踩，然后逐渐增大踩刹车的力度，这样对于乘客来说就会感觉很舒适。
模型
为了模拟出舒适的停车体验，使用变减速度的速度模型进行车辆停车控制。假设加速度的变化率为\(\dot{a}\)，则加速度与加速度变化率的关系为
\[ \dot{a} * t = a \tag{1} \]
对应的减速度曲线如下图所示：
对等式(1)求导得速度与加速度的变化率的关系为 \[ v_0 - \int_0^{t}a*dt = v \Longrightarrow v_0 - \frac{1}{2}\dot{a}*t^2 = v \tag{2} \]
由于减速度一直变化，对应的速度曲线如下图所示：
图中速度曲线下方的面积\(S\)为行驶的位移，根据上述速度曲线，车辆运动模型如下：
\[ \int_0^{t}vdt = S \Longrightarrow v_0*t - \frac{1}{6}\dot{a}t^3 = S \]
当速度从\(v_0\)下降到0的过程中，时间\(t_0\)为：
\[ v_0 - \frac{1}{2}\dot{a}*t^2 = 0 \Longrightarrow t_0 = {(\frac{2*v_0}{\dot{a}})}^{\frac{1}{2}} \]
将时间\(t_0\)代入得：
\[ t_0*(v_0 - \frac{1}{6}\dot{a}{t_0}^2) = S \Longrightarrow {(\frac{2*v_0}{\dot{a}})}^{\frac{1}{2}} * (v_0 - \frac{1}{6}\dot{a}\frac{2*v_0}{\dot{a}}) = S\\ {(\frac{2*v_0}{\dot{a}})}^{\frac{1}{2}}*\frac{2*v_0}{3} = S \]
计算\(\dot{a}\)得：
\[ \dot{a} = \frac{8 {v_0}^3}{9S^2} \]
所以当控制车辆减速时，根据当前车辆速度\(v_0\)和距离停车点的位移\(S\)，计算出减速度的增量\(\dot{a}\)，控制输出的减速度\(a = a - \dot{a}*dt\)。